今天的主題是廣義相對論（GR），寫了以後備用，由於我物理與數學都不怎麼樣，不嚴謹是必然的。在正文開始前，先給兩個comment。
我的第一個comment是說，要討論黑洞，首先要會一點GR，正如要討論自由落體，你需要萬有引力及牛頓運動學。
對於沒有學過前述兩者的人，你頂多告訴他：「蘋果會往下掉，是因為地球在拉它。」，然後任由他的想像力去了解這句話。沒錯，這說法一點錯都沒有，但沒有太多資訊。他不知道蘋果走什麼路線？速度多快？甚至橘子會不會掉下去？
在沒有理論的基礎下，你還能由生活經驗來想，但是到了黑洞什麼的，你怎麼辦？如果我告訴你在黑洞內，時空間某種意義上來說互換，你怎麼來了解這句話？猜嗎？所以說討論無益，去打電動！
第二個comment，是以前某位教授說的，我旁聽了他半學期的基本粒子導論。第一堂課時，他大概是這麼說的：「無論你以前看了什麼書、讀了什麼雜誌、聽你的高中老師說，基本粒子怎樣怎樣──請你把它忘掉，它是錯的！不是說那些科普書一定是錯的，而是說在沒有對應基礎的情況下，你一定會把它理解錯。」
網路上的討論，尤其可以佐證此觀點，以下正文開始，看完後麻煩忘掉它。
GR是物理，但是也可以說是數學，它的基礎是建立在微分幾何上面的。
在GR裡面，我們的世界是一個四維的manifold，它簡單說就是一堆座標的集合，把我們宇宙中每個點都標上一個位置。它可以不要是方方正正的，而可以歪七扭八，或者是捲成一個甜甜圈之類的東西，端視我們的宇宙的長相而定。
當我說它歪七扭八時，其實暗示著我們可以看它的形狀。每個manifold都配給它一個叫做metric tensor的東西，用它，我們可以量測manifold中很接近的兩個點的距離。
(ds)^2 = g(Xi,Xj)(dXi)(dXj)其中g(Xi,Xj)就是metric tensor，它是位置的函數，一個rank 2的tensor。dXi是無限小的座標變化，等式右邊要把所有i,j都加總。
我們其實很熟悉這條式子，譬如說Euclidean空間中：
(ds)^2 = (dX1)^2 + (dX2)^2 + (dX3)^2又如， Minkowski 空間中：
(ds)^2 = (dX0)^2 - (dX1)^2 - (dX2)^2 - (dX3)^2（換句話說g=diag(1,-1,-1,-1)，在特殊相對論（SR）中，g回歸這個形式。）
有了g，你知道宇宙的長相。
因為座標不影響物理，你總是可以選擇一些很奇怪的座標，來滿足你的需求。g是一個位置的函數，在不同位置的長度算法是不同的！而且g的非對角線項可以不等於零，意思是說座標不必正交。
這個manifold的定法十分有彈性，所以很多以前所學的數學都派不上用場，譬如說向量的定義都要重來。而從這裡走到下一格，中間還要發展一大堆數學，我想就跳過了。
直接跳到結論吧！下面這條式子叫做Einstein eqation，基本上就是GR的精要。
G=8*pi*T左邊的G叫做Einstein tensor，是由g經過一段好長的計算得到的。右邊的T叫energy momentum tensor表示能量密度之類的東西。兩邊相等，代表：
「能量造成時空扭曲」──這就是廣義相對論。
你可以試著和牛頓萬有引力作比較：
a=M/r^2「質量造成加速度」，如果說加速度是時空扭曲造成的，那兩邊還蠻像的，不是嗎？
以上基本上就是GR的大要，這個大概是「蘋果會往下掉，是因為地球在拉它。」程度的說明。正如要講牛頓定律需要先從位置的定義、向量講起，最後才有二次微分方程的F=ma，我寫的是差不多的東西。
寫這個的意思是，希望大家不要「用常識」去討論黑洞、時空扭曲什麼的，那種文章看了真的頭很痛。
